Les formules d’addition en trigonométrie posent un problème récurrent aux lycéens et aux étudiants : face à une expression du type sin a cos b ou cos a sin b, le réflexe est de se demander laquelle utiliser. La réponse est directe : on ne choisit pas entre les deux. Chaque terme occupe une place fixe dans une formule précise, et inverser cette place produit un résultat numériquement faux.
Formule d’addition du sinus : pourquoi l’ordre sin a cos b puis cos a sin b est figé
La formule de sin(a+b) s’écrit toujours : sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. Les deux produits ne sont pas interchangeables. Dans le premier terme, c’est l’angle a qui passe par la fonction sinus et l’angle b par le cosinus. Dans le second terme, les rôles s’inversent.
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Si vous écrivez cos a sin b en premier et sin a cos b en second, vous obtenez la même somme (l’addition est commutative). En revanche, confondre les angles associés à chaque fonction, par exemple écrire sin b cos a + cos b sin a en pensant calculer sin(a+b), donne en réalité sin(b+a), ce qui reste correct puisque l’addition est commutative. Le piège réel est ailleurs.
Il se situe dans la formule de sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b. Ici, le signe moins change tout. Permuter les termes (écrire -cos a sin b + sin a cos b) ne modifie pas le résultat algébrique, mais confondre sin(a-b) avec sin(b-a) produit l’opposé. La formule impose que le premier angle nommé dans sin(a-b) soit celui qui multiplie le cosinus de l’autre dans le premier terme.
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Formules du cosinus et du sinus : la différence de signe qui piège
Mettons les quatre formules d’addition côte à côte pour repérer le schéma :
- sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b (somme de deux produits croisés, signe +)
- sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b (mêmes produits croisés, signe -)
- cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b (produits « parallèles », signe -)
- cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b (produits « parallèles », signe +)
Le motif est régulier. Pour le sinus, on croise les fonctions (sin avec cos). Pour le cosinus, on garde les fonctions identiques (cos avec cos, sin avec sin). Le signe qui relie les deux produits est le même que l’opération a+b ou a-b pour le sinus, et l’inverse pour le cosinus.
Ce dernier point est la source d’erreur la plus fréquente. Le cosinus inverse le signe de l’opération entre a et b : cos(a+b) utilise un moins, cos(a-b) utilise un plus. Le sinus, lui, conserve le signe.
Moyen mnémotechnique pour les formules de trigonométrie
Un repère visuel circule largement chez les enseignants, notamment sur les réseaux pédagogiques. Le principe repose sur deux associations :
- Sinus = croisement. On associe sin à cos et cos à sin, comme un X. Le signe suit l’opération (+ pour a+b, – pour a-b).
- Cosinus = parallèle. On associe cos à cos et sin à sin, comme deux lignes droites. Le signe est inversé par rapport à l’opération.
- Pour le signe, retenez que « sinus est sympa » (il garde le même signe que l’opération), tandis que « cosinus contredit » (il prend le signe opposé).
Ce type de raccourci ne remplace pas la compréhension de la démonstration géométrique, mais il évite les confusions en examen quand le temps presse.
Exercice type : reconnaître sin a cos b dans une expression trigonométrique
Prenons l’expression sin 50° cos 20° + cos 50° sin 20°. On identifie deux produits croisés reliés par un signe +. C’est la structure de sin(a+b) avec a = 50° et b = 20°. Le résultat est donc sin(70°).
Changeons le signe : sin 50° cos 20° – cos 50° sin 20°. Même structure, signe -. C’est sin(a-b), soit sin(30°) = 0,5.
Prenons maintenant cos 50° cos 20° + sin 50° sin 20°. Les fonctions sont « parallèles » (cos-cos et sin-sin), le signe est +. C’est la structure de cos(a-b), pas de cos(a+b). Le résultat est cos(30°).
L’erreur classique serait d’associer le signe + à cos(a+b). Relisez le tableau de la section précédente : pour le cosinus, le signe est inversé.
Linéarisation et formules de produit : l’autre contexte où sin a cos b apparaît
Transformer un produit sin a cos b en somme
Les formules de linéarisation permettent de convertir un produit de fonctions trigonométriques en somme. Pour sin a cos b, la formule s’obtient en combinant les formules d’addition :
sin a cos b = (1/2)[sin(a+b) + sin(a-b)]. Cette identité est utile en calcul intégral et en physique des signaux, où les produits de fonctions trigonométriques doivent être décomposés.
De façon symétrique, cos a sin b = (1/2)[sin(a+b) – sin(a-b)]. La différence entre les deux réside dans le signe entre les deux sinus de la somme. Confondre les deux formules de linéarisation revient à permuter a et b dans le résultat, ce qui peut fausser un calcul d’intégrale.
Quand utiliser la linéarisation plutôt que les formules d’addition
Les formules d’addition servent à développer sin(a+b) ou cos(a+b) en produits. La linéarisation fait le chemin inverse : elle part d’un produit pour obtenir une somme. Le sens de transformation dépend de ce que l’exercice demande. Si l’énoncé donne un produit sin a cos b et demande de simplifier, la linéarisation s’impose. Si l’énoncé donne sin(a+b) et demande de développer, ce sont les formules d’addition.
Beaucoup d’erreurs viennent d’un réflexe d’appliquer une formule d’addition là où une linéarisation serait plus directe, ou inversement. Identifier le format de départ (somme d’angles ou produit de fonctions) tranche immédiatement la question.
La prochaine fois que vous hésitez entre sin a cos b et cos a sin b, posez-vous une seule question : quelle formule êtes-vous en train d’appliquer ? La formule dicte l’ordre des termes. Toute hésitation disparaît quand on cesse de considérer ces expressions comme des options et qu’on les traite comme des résultats contraints par l’identité choisie.
